“ルベーグ積分”って何?

2016-08-16 :  理科部 部活
本文の前に、
-・・・ -・-
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・-・ - -・

さて、本文。

Maxima”などで、微分に拘っていたが、・・・・・


ふと、積分もあるナ。---と、思ったり、

突然、連続だが至る所微分不能ってコトもあるって、思い出した。


それで、いろいろ検索していたら、・・・・・

“ときわ台学”の“The 講義”に、
1 ルベーグ流の面積
  1.リーマン積分からルベーグ積分へ

  [1] 解析学の入門書で始めに勉強する定積分はジョルダンの内測度・外測度を
  用いて定義されるリーマン積分 [#] と呼ばれるものです。
  リーマン積分は簡単にいうとある区間で,x軸と関数f(x)で表される曲線とで囲ま
  れる面積を厳密に定義したもので,いわば,古典的な面積という概念の厳密化に
  当たります。ただし,リーマン流の定積分が可能なためには関数f(x)が,
  「区分的に連続」でなければならないという条件がつきます。
  しかしながらこの条件は,“かなり緩やかな”条件で不連続点や微分不可能点が
  たくさんある関数においても“たいてい”クリアすることができます [#]。
  具体的に,どれくらい緩やかかといえば,

   「可算個の不連続点しか持たない有界な関数はリーマン積分可能
        ⇒ 連続な区間ごとに面積を求めてあとでたし合わせればよい。」

  ということになります。
  ここで,可算個とは,“自然数の個数と同程度の無限個”と考えてください。
  詳細は次章で,

  [2] しかし,[0,1]で定義された有界関数 f(x)として:

    x が有理数の時に f(x)=1,
    x が無理数の時に f(x)=0

  と定義される関数(ディリクレ関数)は,
  リーマンの方法を用いて面積を求めることはできません。
  ・・・・・
  ・・・・・

そして、
少し下に、枠で囲まれた部分に、

  “リーマンの面積”の拡張が、“ルベーグの面積”

とある。


一寸脱線するが、
8年前(2008-10-08)の記事“「非ユークリッド幾何学」
で、
ユークリッド(Euckid)幾何学」と「リーマン(Rieman)幾何学
について書いていた。


元に戻って、
上記の“ときわ台学”の記事に、“ディリクレ関数”の記述があるが、・・・・・

こんな記事:「連続性と微分可能性 (1)
  ・・・・・
  ・・・・・
  実関数 f(x) の値が存在する各点において、
  以下の3つのいずれかである。
    (1) 連続かつ微分可能である
    (2) 連続でも微分可能でもない
    (3) 連続だが微分可能でない
  数学で習う関数の多くは、
  いたるところで(任意の x について)(1)になっている。
  ・・・・・
  ・・・・・
  ディリクレの関数は十分病的だが、いたるところで(3)、
  つまり連続なのにどこでも微分できないという、
  もっと病的な関数も存在する。
  その例として最初に考案されたのはワイエルシュトラスの関数。
  ・・・・・
  ・・・・・
もあった。

それで、
“ワイエルシュトラス関数”に関しては、
ウィキペディア


それから、
“科学教育研究生 国内短期留学 報告書”に、
セレリエの関数

  その他の微分不可能な関数に関して

  ワイエルシュトラスが世界で最初に,連続かつ微分不可能な関数を作り出し,
 当時の学会を驚かせたが,後になってワイエルシュトラス以前にも微分不可能な
 曲線は,少なくとも2人によって考え出されていたことが分かった。
  セレリエは,1860年以前に以下のような関数を考えていたが,残念なことに
 これが公にされたのは,彼の死後の1890年になってからであった。
  ボルツアノはもっと古く,1830年以前に,幾何学的作図によって,この種の
 関数の存在を示したことが,1921年に発見された。

 ・・・・・

が載っていた。


で、結局なんなんだ???

自分でも分からなくなってきた。


本日はここまで。


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